令和7年度 高度共通 午前I（PM試験） 問1

正解：イ

AI解説

M/M/1待ち行列モデルでは、平均待ち時間Wq＝ρ/(1−ρ)×Ts（ρ：利用率、Ts：平均サービス時間）で表される。本問は平均処理時間Ts＝T秒で、待ち時間がT秒以上、すなわちWq≧Tsとなる条件を問うている。ρ/(1−ρ)×Ts≧Ts より ρ/(1−ρ)≧1、両辺に(1−ρ)を掛けて ρ≧1−ρ、よって ρ≧0.5＝50%となる。 ア: 33%（ρ=1/3）ではWq＝(1/3)/(2/3)×T＝0.5Tとなり、待ち時間はTの半分にしかならない。 イ: 正解。ρ＝0.5のときWq＝0.5/0.5×T＝Tとなり、利用率50%以上で平均待ち時間がT秒以上になる。 ウ: 67%（ρ=2/3）ではWq＝2Tとなり既にTを超えているが、Tに達する最小の利用率は50%なので「少なくとも」の条件に合わない。 エ: 80%（ρ=0.8）ではWq＝4Tとなるが、これもTに達する最小値ではない。 💡 M/M/1の公式「待ち時間＝ρ/(1−ρ)×サービス時間」は頻出。『待ち時間＝サービス時間となるのはρ=0.5』『ρ=0.8で4倍』という代表値を暗記しておくと計算せずに検算できる。