平成21年度 高度共通 午前I（PM試験） 問1
（1＋α）ⁿ の計算を，1＋n×α で近似計算ができる条件として，適切なものはどれか。
- ア ｜α｜が1に比べて非常に小さい。
- イ ｜α｜がnに比べて非常に大きい。
- ウ ｜α÷n｜が1より大きい。
- エ ｜n×α｜が1より大きい。
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正解：ア
AI解説
二項定理により（1＋α）ⁿ＝1＋nα＋n（n−1）÷2×α²＋…と展開できる。｜α｜が1に比べて非常に小さければ，α²以降を含む高次の項は無視できるほど小さくなり，先頭の2項だけを残した1＋n×αで近似できる。近似の成立条件は「αの2乗以降が無視できること」と押さえる。 ア: 正解。｜α｜≪1であればα²，α³…の項が急速に小さくなり，1＋nαによる近似が成り立つ。 イ: ｜α｜が大きいと高次の項がむしろ支配的になり，2項だけの近似は成り立たない。 ウ: ｜α÷n｜が1より大きいことは｜α｜が大きいことを意味し，近似が成り立つ条件とは逆である。 エ: ｜n×α｜が1より大きいと第2項だけで1を超え，無視した高次項の影響も大きく，近似精度は保証されない。 💡 誤差の主要因は第3項のn（n−1）α²÷2。金利計算（複利の近似）などでも使われる近似で，「αが十分小さいとき」という条件が常に付くことを覚えておく。
出典：平成21年度 秋期 プロジェクトマネージャ試験 午前I 問1 ／ 独立行政法人情報処理推進機構（IPA）
※Web掲載用に表記を一部変更しています。著作権はIPAに帰属します。
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