平成29年度 高度共通 午前I（PM試験） 問1

正解：ア

AI解説

正解はア。二項定理により(1+α)ⁿ=1+nα+n(n-1)/2·α²+…と展開できる。|α|が1に比べて非常に小さければα²以降の高次の項は無視できるほど小さくなり、(1+α)ⁿ≒1+nαと近似できる。これが近似が成り立つ条件である。 ア: 正解。|α|≪1であればα²、α³…の項が急速に0に近づき、1次の項までの近似1+nαが成り立つ。 イ: |α|がnに比べて非常に大きい場合、高次の項が無視できず近似は成り立たない。 ウ: |α÷n|が1より大きいことは|α|が大きいことを意味し得るため、近似の条件として不適切である。 エ: |n×α|が1より大きいと2次の項n(n-1)α²/2が無視できない大きさになり、近似精度が悪化する。 💡 近似式(1+α)ⁿ≒1+nαの成立条件は常に「|α|≪1」。利息計算や誤差評価でも使う基本近似で、「小さい量の2乗以降は無視」という発想を覚えておく。