平成25年度春期 応用情報技術者試験 午前 問1

正解：イ

AI解説

aが2進数でnビットならば a＜2ⁿ が成り立つ。両辺を2乗すると b＝a²＜(2ⁿ)²＝2²ⁿ となり、bは2nビット以内で表現できる。実際、最大値a＝2ⁿ−1のとき a²＝2²ⁿ−2ⁿ⁺¹＋1 は2²ⁿ未満なので、高々2nビットで足りる。よってイが正しい。「乗算はビット数が足し算される（n＋n＝2n）」と押さえる。 ア: n＋1ビットは加算（a＋a程度）でのビット増加であり、2乗では足りない。 イ: 正しい。a＜2ⁿ の両辺を2乗して a²＜2²ⁿ となるため、bは高々2nビットである。 ウ: n²はビット数を2乗した値であり、2進表現の桁数の増え方（指数の和）とは合わない。 エ: 2ⁿはaの値の上限に近い数であって、bのビット数ではない。 💡 2進数の乗算では「mビット×nビットの結果は高々m＋nビット」が鉄則。10進数でも2桁×2桁は高々4桁になるのと同じ理屈で覚えられる。