令和元年度秋期 応用情報技術者試験 午前 問2
全体集合 S 内に異なる部分集合 A と B があるとき，Ā∩B̄ に等しいものはどれか。ここで，A∪B は A と B の和集合，A∩B は A と B の積集合，Ā は S における A の補集合，A−B は A から B を除いた差集合を表す。
- ア Ā−B
- イ (Ā∪B̄)−(A∩B)
- ウ (S−A)∪(S−B)
- エ S−(A∩B)
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正解：ア
AI解説
ド・モルガンの法則により、Ā∩B̄=(A∪B)の補集合=S-(A∪B)が成り立つ。また、Ā-B=Ā∩B̄(Bの要素を含まないAの補集合)としても同じ集合を表せるため、選択肢の中でこの等式に一致するものを選べばよい。 ア: Ā-Bは「Aの補集合からBを除いた部分」であり、これはĀ∩B̄(Aにも属さずBにも属さない部分)と等しくなるため正解である。 イ: (Ā∪B̄)-(A∩B)は、ド・モルガンの法則によりĀ∪B̄=S-(A∩B)となるため、この式は(S-(A∩B))-(A∩B)=S-(A∩B)となり、Ā∩B̄とは異なる集合を表す。 ウ: (S-A)∪(S-B)はĀ∪B̄に等しく、これはド・モルガンの法則によりS-(A∩B)、すなわちA∩Bの補集合であり、Ā∩B̄(積集合ではなく和集合の補集合)とは異なる。 エ: S-(A∩B)はA∩Bの補集合であり、Ā∪B̄と等しくなるがĀ∩B̄とは異なる集合である。 💡 ド・モルガンの法則「Ā∩B̄=S-(A∪B)」「Ā∪B̄=S-(A∩B)」は混同しやすいので、ベン図を描いて確認する習慣をつけるとよい。
出典：令和元年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2 ／ 独立行政法人情報処理推進機構（IPA）
※Web掲載用に表記を一部変更しています。著作権はIPAに帰属します。
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